橢圓的面積公式推導-橢圓的面積公式推導微積分

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一、面積公式

S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸，短軸的長).

定理內容

如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。

那么橢圓

的面積為πab

因為兩軸焦點在0點，所以橢圓的面積可以分為4個相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個區域，所以只要求出一個象限間所夾的面積，然后再乘以4就可以得到整個橢圓的面積。揀最簡單的來吧，先求第一象限所夾部分的面積。 根據定積分的定義及圖形的性質，我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形，整個圖形的面積就等于這些小矩形面積和的極限?，F在應用元素法，在圖 形中任找取一點，然后再取距這點距離無限近的另一個點，這兩點間的距離記做dx，然后取以dx為底邊，兩點分別對應的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩 形的面積s，顯然，s=y*dx 現在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關于x的定積分 步驟：（第一象限全取正，后面不做說明） S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設 x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這里需要用到一個公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2) 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見橢圓面積與坐標無關，所以無論橢圓位于坐標系的哪個位置，其面積都等于半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率

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二、如何用微積分計算橢圓面積

首先先把橢圓方程各個字母的含義給大家，如下圖

第一種方法：換元積分法

第二種方法：極坐標求積法

第三種方法：格林公式下的求積公式

格林公式是闡述二重積分和邊界曲線積分之間關系的重要公式，其是二元的牛萊公式

以上就是用微積分求橢圓面積的具體過程。有趣的是橢圓的面積有很多種求法，但橢圓的周長卻沒有精確公式表達，只有許多的近似公式。

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